钉子板上的多边形

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。

3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。

教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律

教学难点：

类比推导出一般规律

教学准备：

作业纸，多媒体课件

教学过程：

课前铺垫：数格子算面积  找点子图上的长度  复杂问题从简单想起  

一、激趣导入，引发猜想

1、同学们，钉子板大家都很熟悉吧。如果把钉子板抽象成点子图，你还能看明白吗？相邻两个点子间的距离是1厘米，那这个图形的面积是（1平方厘米）。

2、这个图形呢？（出示梯形） 你是怎样思考的？

3、第三个图形的面积，你能很快地说出答案吗？这个图形太复杂了，怎么办呢？有没有快速的计算方法呢？大家观察这几个图形的面积，你觉得它们可能与钉子板上的什么有关？同桌互相说说。

4、这节课我们就一起来研究钉子板上的多边形。（出示板书）

二、独立思考，由简探索

1、钉子板上的多边形形状不一，纷繁复杂，就你觉得我们可以从哪里开始研究？2、这几个多边形的面积是多少？

出示研究活动一要求：

1、填一填，把多边形的面积记录在表格里。

2、想一想，多边形的面积可能与什么钉子数有关？

3、拿出1号研究单，学生活动，全班交流。板书：多边形的面积  三组数据

4、（1）你觉得多边形的面积可能与什么有关？有怎样的关系？

   根据学生回答深化挖掘：边上钉子数越多，这个多边形的面积就越大。(你来数一数这个图形边上的钉子数)比如1号图形？谁听明白他的意思了？你能来数一数这个多边形边上的钉子数吗？板书：边上钉子数

（2）其他两个图形呢？

（3）观察表中的数据，你有什么发现？老师还没听懂？有谁再来说说？板书：观察

5、如果面积用S表示，边上的钉子数可以用n表示，那S=……板书s=n÷2

5、刚才同学们通过仔细观察，发现了这样的规律。那这条规律一定适用于所有的多边形吗？（不一定）是啊，这只是我们提出的一种猜想。（板书：猜想）既然还只是猜想，你们觉得接下来要怎么办？（板书：验证）

6、出示研究活动二：拿出2号研究单

1、画一画：在研究单2的点子图中任意画一个多边形。

2、填一填：把面积和边上的钉子数填写在表格中。

3、验一验：观察数据，判断刚才的猜想是否成立，同桌互相说一说。

7（1）投影学生作业。（收集2张符合规律的，2张不符合规律的：2枚 0枚）

（2）请每一个多边形的创作者交流一下验证过程？

（3）看来这个发现并不适合所有的多边形。我们一起来聚焦这些符合猜想的多边形，它们有什么共同点？停顿思考 小组内交流一下

（4）全班交流。请学生上来指一指。其他人也发现了吗？

（5）这里的钉子可以称为形内钉子。看来钉子板上的多边形的面积不仅跟边上的钉子数有关，还跟形内钉子数有关。当形内钉子数是1枚是，多边形的面积=边上钉子数÷2    板书：1

8、回顾刚才的过程，我们是怎么找到规律的？板书：结论 同学们真是了不起的探索者！

三、运用结构，合作学习

（一）探究形内有2枚钉子的情况

出示形内是2枚钉子的多边形

1、形内有1枚钉子的规律已经找到了，你觉得我们接下去要研究什么了？

板书：2

2出示研究活动三：

1.把2个多边形的面积和边上钉子数填入表格中，认真观察，你有什么猜想；

2.设计一个形内钉子数是2枚的多边形，验证你的猜想；

3.在小组中交流你的想法。

3、（1）指名一人数据完整的汇报：谁来完整地介绍自己的研究过程。板书：数据

（2）他通过一系列的观察、猜想、验证，得到了这个结论。你们得到的结论是什么？板书：S= n÷2+1。

4、当内部只有2枚钉子，这条规律一定成立吗？你们刚才举的例子中有没有反例？看来这条规律是正确的。

（二）推想形内有3枚、4枚的情况

1、比较这两个规律，你有什么发现？根据这两个规律你能猜想一下形内钉子数是3枚时，有什么规律？4枚呢？

2、老师相信你一定有猜想了。

3、出示研究活动四：

1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子，多边形的面积和边上钉子数的关系；

2.验证：设计一个形内有3枚钉子、4枚钉子的多边形，将结果记录下来，组长负责汇总；

3.结论：在小组里说说自己的想法。

4、请一个小组汇报交流。板书：数据

其他组也是这样的想法吗？

5、如果形内钉子数是5枚，6枚……

6、如果形内钉子数是a枚呢？同桌互相说一说。

7、全班交流。 板书：S =n÷2＋a－1

8、还记得刚才那个很复杂的多边形吗？解决这个图形的面积需要哪些信息？首尾呼应解决难题。

9、那这个图形的面积是多少？形内钉子数是0枚时，同样适用这个规律。

10、我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理，是奥地利数学家乔治.皮克在1899年发现的一条有趣的定理。你想做进一步了解的话给大家推荐一本书《格点与面积》，感兴趣的同学可以去读一读。

四、总结

同学们，通过今天的学习你有什么收获？

在这个寻找规律的过程中，你有什么感受？

                               钉子板上的多边形

     形内钉子数（）枚    多边形面积/平方厘米   多边形边上钉子数（）枚