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解读“数学和数学课程”
发布人：经辉
发布时间：2014-01-22
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经过10年课改，《数学课程标准》已由实验稿走向了修订稿，在不断完善中。数学是一门什么样的科学呢？《课程标准（2011年版）》对数学的明确阐述是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。这一定义是对数学作为一种文化的整体认识的出发点。纵观数学的全部历史，可以达成一个共识：尽管经过由古至今的漫长发展，现代数学已是一个分支众多的庞大的知识体系，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念的抽象、提炼而发展。
需要说明的是，这里所说的数量关系和空间形式，并不限于现实世界，而是包括一切可能的数量关系与空间形式：它既可以是来源于现实世界，也可以是数学自身逻辑的产物。数学具有高度的抽象性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本的特征，广泛应用性是数学的一贯特点。数学的抽象性指它舍弃了事物的其他方面而仅保留数量关系和空间形式。例如解决实际问题时，我们要求分析数量关系，典型的应用题有基本的数量关系和解题模式，如单价、数量、总价，时间、速度、路程等。数学的广泛应用催生出一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学等。作为普遍的科学语言和工具，数学在各个领域的知识创新中扮演越来越重要的角色，以致一些著名的学者认为数学是一种普遍适用、赋予人能力的技术，在21世纪将成为各个门类学科研究中重要的并且也许是最富有创造性的部分。数学作为一种文化创造活动，还具有艺术的特征。数学的美是一种抽象、简洁的逻辑形式与结构的完美。如对称、透视、黄金分割和分形。数学对人类社会的另一项重要的文化功能就是培养发展人的思维能力特别是理性思维能力。数学思考的方法包括计算、证明、归纳、类比、建模、数据推断等。但总而言之，数学思维最基本的两大方面是精确的定量化方法和严密的逻辑推理（PPT9）。无论是定量化还是逻辑推理，本质是都是通过建立适当的模型来实现的。因此，在更概括的意义上可以说，数学是关于模式的科学，数学寻求尽可能简单、普遍适用的模式，来解决认识自然、发展社会以及数学自身世界的问题。建模思想逐渐兴起，谈起数学建模，有不少一线老师都觉得很不自信，这好像只是高校专家们的话语，距离我们的教学实践似乎挺遥远的，小学数学老师似乎还没有建模的“功力”。其实我倒觉得数学建模其实离我们的实践并不遥远，因为数学本就是模式的科学。《译林》杂志曾刊载过这样一则笑话：
父：如果你有一个桔子，我再给你两个，那你数数看一共有几个桔子？
子：我不知道，因为在学校里，我们是用苹果数的。
这只是一则笑话而已，在我们的现实生活中肯定不会存在，老师在教学生时，一定是这样教的：1个桔子+2个桔子=3个桔子，1个苹果+2个苹果=3个苹果，1个人+2个人=3个人，1颗树+2颗树=3颗树，…，直至抽象出1+2=3。数学抽象本就是一种概括，一种建模的过程，即是集中地表明了一类事物或现象在数量等方面的共同特性。据此，1+2=3，也是一个模式的、模型的存在。从这个意义上看，我们的每堂数学课可能都是在建立数学模型。数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构，一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型。建议各位老师有时间的话可以读读张奠宙教授的《数学教育概论》的第六章第六节。
下面谈谈数学课程。
对课程内涵的认识历来就有很多种观点，我们可以将其归纳成这样几个维度：1、学科、知识维度。将课程看做是所讲授的学科，强调学科知识的组织、累积与保存；2、目标、计划维度。将课程视为教学要达到的目标、教学的预设计划或预期结果；3、经验、体验维度。将课程视为学生在教师指导下或自主学习中所获得的经验和体验；4、活动维度。认为课程是人的各种自主活动的总和，学习者通过与活动对象的相互作用而实现自身各方面的发展。综合上述几个维度，我们可以将数学课程的内涵表述为：在特定目标、计划制约下的数学学科及数学学习活动。
数学课程作为义务教育阶段课程计划中的一门学科，它要服从于义务教育培养目标的总体要求，并受其制约和影响。从根本上说，数学课程必然要受到社会、数学、学生这三个方面的影响。1、社会的发展与需求对数学课程具有决定性的影响作用。首先，社会的需要直接或间接地决定着数学课程所具有的时代标准和价值取向，成为制定数学课程目标，选择课程内容、方法、评价方式的依据。就目前而言，不能仅仅片面强调传统意义上的数学教育的实用性目的或思维训练性目的，应该在培养人的数学素质上形成能体现时代要求的教育价值追求。基于此，《课程标准（2011版）》提出：“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中国所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”其次、社会需要的决定作用还反映在数学课程应通过自身的改革主动适应社会的变化，主动服务于社会。特别需要指出的是，此次修订稿强调了对学生创新精神和实践能力的培养，这正是从国家对创新人才培养的要求出发所采取的的措施。2、数学发展与数学课程。数学的发展对数学课程的影响首先来自于数学观。当今的数学课程应该引导学生去全面地感悟这丰富多彩的“鲜活”的数学，并在这样的数学学习中获得生动的、多样化的发展。3、学生身心发展规律与数学课程。学生身心发展对数学课程的影响和制约，体现在相辅相成的两个方面：一方面，数学课程对学生的心理要有适应性，数学课程目标的确定，内容的选择与体系安排，都应考虑学生的已有的心理发展水平和认知特征；另一方面，数学课程对学生的心理发展又要有促进性，而且不只是促进智力的发展，还要促进非智力因素在内的学生身心的全面发展。
大到课程，小到每一节课，老师都要做到考虑学生已有的心理发展水平和认知特征。在备课时，不仅要备教材，还要备学生，分析他们的前在经验和潜在经验。如《异分母分数加减法》一课，在三年级《分数的初步认识》中，学生已经初步涉及了同分母分数加减法，但大多是借助实物或图形来理解的，并没有出现分数单位这一概念。对五年级大部分学生来说，同分母分数加减计算没有困难，但对算理的理解和表述会有差异，对计算结果运用分数的基本性质进行化简这一新要求大部分学生缺乏自觉意识，需要学生和老师提醒，而学生前面已经学过用通分的方法比较大小，知道“化异为同”是解决问题的有效方法，但部分学生不明白“为什么同分母分数就能直接相加减”的道理，根据学生整体学习水平和状态，我确定了三个学习目标：
1、 每个学生经历探索的过程，培养判断和选择的敏感性；
2、 掌握异分母分数相加减的算理和算法；
3、 通过沟通异分母分加减法和同分母分数加减法，分数计算域整数、小数计算，能对数运算形成整体的认知结构。
教学时，我先让学生尝试计算1∕4+1∕2，体验算法多样化；接着计算1∕3+2∕7，化小数有局限，我在巡视时就看到有学生尝试化小数。
交流时，请他分享：你尝试成功了吗？
生：没有。它们都只能化成循环小数。
师：由此可见化小数的方法是有局限的。
生：我知道了，它们要都能化成有限小数就可以了。
课后反思：让每一个学生经历探索的过程这一目标的设定符合学生心理发展特点，这个学生能想到化小数，数感是相当好的，这次他虽然没尝试成功，但却从失败中得出了经验，而且当时有了发现后特别开心，这个过程不仅促进了智力因素的发展，也促进了非智力因素的发展。
《数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。”旧课标只说到“数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性”。新课标新增了“是培养公民素质的基础课程”。对数学课程教育的目的做了一定的阐述。认识和理解基础性、普及性和发展性这些基本属性的立足点是基于特定年龄阶段下的学生发展——数学课程应当为所有适龄儿童提供最为基本的，并能促进学生继续发展的数学教育。这一角度应当引起传统数学课程的反思：事实上，义务教育阶段数学课程这些本应被“突出体现”的属于被弱化、异化。在很大范围内和很大程度上，义务教育阶段的数学课程从一开始就被导入应试升学的轨道，本该“突出体现”的基本属性就被异化为竞争性、区分性和筛选性。因此，《数学课程标准（2011年版）》对义务教育阶段数学课程本质属性的强调颇有“正本清源”之意。也正是出于正本清源的目的，教育部办公厅为努力减轻义务教育阶段学生过重课业负担，定于2013年3月起，在全国范围内开展以“宣传典型经验、规范办学行为、更新教育观念、营造良好氛围”为主题的义务教育阶段学校“减负万里行”活动。想法是好的，活动也是好的，但是高考、中考的指挥棒不变，纠结的最终还是我们一线的老师。徘徊在应试教育和素质教育的夹缝中。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
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